Bir Gece, Sonsuzluk: Évariste Galois’nin Matematik Mirası

Évariste Galois, modern cebirin temellerini atan, 20 yıllık kısa ömrüne sonsuzluğu sığdıran olağanüstü bir matematik dahisidir. 1811 yılında Fransa’da doğdu ve daha reşit bile olmadan, bugün “Galois Teorisi” diye anılan devrimsel bir yapıyı matematiğe kazandırdı. Henüz 20 yaşına bile gelmeden, siyasi görüşleri ve çalkantılı hayatı nedeniyle bir düelloya davet edildi. Öleceğini biliyordu. Ve ölmeden önceki gece, el yazısıyla not defterine şöyle yazdı: "L’histoire de ma vie est celle d’une idée" (Hayatımın hikâyesi bir fikrin hikâyesidir.)

Bu yazı, hem Galois’nin yaşamını, hem de onun ortaya koyduğu teorinin matematiksel özünü anahatlarıyla aktarmayı amaçlamaktadır.

---

I. Çözülemeyen Denklemlerin Çözümü: Galois Neyi Fark Etti?

Cebirin en eski sorularından biri şudur: "Verilen bir polinom denkleminin kökleri, temel cebirsel işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme, kök alma) ile ifade edilebilir mi?"

İkinci dereceden denklemler için bu mümkün: ax^2 + bx + c = 0 denkleminin çözümü formülle verilir. Benzer şekilde, üçüncü ve dördüncü dereceden denklemler için de karmaşık ama var olan formüllerle çözümler bulunur. Ancak beşinci dereceden ve daha yüksek polinomlar için bu yöntemin her zaman geçerli olmadığı 19. yüzyılın başında anlaşıldı.

Galois bu problemin temeline indi. Önceki matematikçiler bireysel denklemler üzerinde çalışırken, Galois şöyle sordu:

> "Bir denklemin çözülebilir olup olmadığı, kökleri arasındaki simetriyle anlaşılabilir mi?"

Bu soru, modern cebirin kalbini oluşturur. Galois, bir polinomun kökleri üzerindeki permütasyon (yer değiştirme) yapısını inceleyerek, bu yapının bir grup (group) oluşturduğunu gösterdi. İşte bu yapıya bugün Galois grubu diyoruz.

---

II. Galois Grubu ve Denklemlerin Çözüne Etkisi

Bir denklemin kökleri arasındaki simetriler, o köklerin birbirine hangi işlemlerle dönüşüp dönüşmediğini gösterir. Bu simetriler bir araya geldiğinde bir "grup" yapısı oluşur.

Galois, bu grup yapısını inceleyerek, şu sonuca vardı:

> "Bir polinomun kökleri üzerindeki grup yapısı çözülebilir bir lebilir bir \u00alt grup zinciri» (solvable group chain) yapısı taşıyorsa, o polinom cebirsel yöntemlerle çözülebilir."

Bu ölçüt, soyut bir grup yapısıyla cebirsel çözümler arasında ilk kez sağlam bir bağlantı kurdu. Artık bir polinomun çözülebilirliği, onun denklemiyle değil, grubuyla test edilebiliyordu.

---

III. Galois’nin Mirası: 20 Yaşında Sonsuzluğa Yazılan Teori

Galois, 1832 yılında bir düelloda hayatını kaybetti. O gece yazdığı defterde, daha sonra "Galois Teorisi" olarak anılacak fikirlerin özü vardı. O zamandan bugüne, bu teori:

Grup Teorisi'nin temelini attı,

Alan Teorisi (field theory) gelişti,

Kriptografi, kodlama teorisi, cebirsel geometri gibi birçok alanın zeminini oluşturdu,

"Çözülemeyen ama anlamlı" sistemleri incelemenin kapısını açtı.

Galois’nin hikâyesi, yalnızca bir matematiksel başarı değil, aynı zamanda bir ruhun, bir fikri son nefesine kadar taşımasının manifestosudur. Bugün, cebir derslerinde anlatılan bir teorem olarak öğretilse de, Galois’nin gerçek mirası, bir gecede yazılıp yüzyıllara mal olan bir sezginin, bir sezgiden doğan kavramın şaatidir.

---

Son Söz

Hayatının hikâyesini bir fikrin hikâyesi olarak yazan Galois, belki de ölümden önceki o son gecede sadece bir matematik teorisi değil, bir insan zihninin sonsuzluktaki yankısını kaleme aldı.

Bugün onun defteri kapalı olabilir. Ama sesi, her simetrinin altında, her denklemin özünde, her sorunun kalbinde yankılanmaya devam ediyor.